"Naked statistik" - den mest interessante bog om den mest kedelige videnskab
Bøger / / December 19, 2019
Riddle af Monty Hall
"Riddle of Monty Hall" - den berømte problemet med teorien om sandsynlighed, at forvirre deltagerne i spillet show kaldet Lad os Lav en Deal ( «at lave en aftale"), er stadig populær i nogle lande, som havde premiere i USA i 1963 år. (Jeg husker, hver gang jeg så dette show som barn, når man ikke går i skole på grund af sygdom.) I indledningen til bogen, har jeg allerede påpeget, at i dette spil show kan være interessant for statistikere. Ved slutningen af sin release party for at nå finalen, bliver med Monti Hall før tre store Dør: № 1, døren 2 og døren № № 3. Monty Hall forklarede finalist, som er meget værdifuld præmie skjult bag en af disse døre - såsom en ny bil, men for de to andre - en ged. Finalist skulle vælge en af dørene og få, hvad der var bag det. (Jeg ved ikke, om der var blandt deltagerne i showet mindst én person, der ønsker at få en ged, men for nemheds skyld vil vi antage, at det store flertal af deltagerne drømt om ny bil.)
Den oprindelige sandsynligheden for at vinde er ganske simpelt at afgøre. Der er tre døre, med to ged huder og for tredje - bilen. Når deltagerne i showet sammen med Monty Hall står foran disse døre, han har en chance i tre at vælge en dør, bag hvilken der er en bil. Men, som nævnt ovenfor, Lad os lave en aftale ligger trick, udødeliggjort dette tv-show og sit forspring i litteraturen på teorien om sandsynlighed. Efter finalisterne af showet vil pege på nogle af de tre døre, Monty Hall åbner en af de to tilbageværende døre, bag hvilket altid er en ged. Så Monty Hall spørger finalist, hvis han ønskede at skifte mening, der er, til at opgive den tidligere valgte dem lukket dør til en anden dør lukket.
Lad os sige, for eksempel, at brugeren har indtastet et nummer på døren en. Monty Hall derefter åbnet døren nummer 3, bag hvilken en ged. To døre, dør nummer 1 og nummer 2 dør forbliver lukket som før. Hvis en præmie er bag en dør nummer 1, ville finalist have vundet det, men hvis for døren nummer 2, ville han have tabt. Det var i dette øjeblik Monty Hall refererer til den spiller med spørgsmålet om, hvorvidt han ønsker at ændre sin oprindelige valg (i dette tilfælde nægter at Doors nummer 1 til fordel for Doors nummer 2). Selvfølgelig du huske, at begge døre lukket indtil. Det eneste nye oplysninger, som deltageren har modtaget, er, at barnet var bag en af de to døre, som han ikke vælger.
Må finalist bør opgives til fordel for det oprindelige valg af Doors nummer 2?
Svaret er: ja, burde det. Hvis han vil holde sig til den oprindelige udvælgelse, sandsynligheden for at vinde dem en værdifuld præmie vil være ⅓; hvis det ændrer mening og vil pege på døren nummer 2, vil sandsynligheden for at vinde en værdifuld præmie være ⅔. Hvis du ikke tror mig, så læs videre.
Jeg indrømmer, at en sådan reaktion ved første øjekast langt fra indlysende. Det lader til, at uanset hvad de to andre døre har valgt en finalist, er sandsynligheden for en værdifuld præmie i begge tilfælde lig til ⅓. Der er tre lukkede døre. I første omgang, sandsynligheden for, at en præmie er skjult bag dem alle er ⅓. Er har en værdi beslutning finalist ændre deres valg til fordel for en anden lukket dør?
Selvfølgelig, fordi den hage er, at Monty Hall ved, hvad der ligger bag hver dør. Hvis en finalist vælger dør nummer 1, og det vil virkelig være en bil, kan Monty Hall åbne døre nummer 2 eller nummer 3 dør, for at vise en ged, gemmer sig bag det.
Hvis en finalist vælger dør nummer 1, og bilen vil være bag døren nummer 2, Monty Hall åbner døren nummer 3.
Hvis finalist vil indikere døren nummer 1, og bilen vil være bag døren nummer 3, Monty Hall åbner døren nummer 2.
Han skiftede mening efter den førende åbne nogle af dørene, en finalist modtager et udvalg fordel af to døre i stedet for én. Jeg vil forsøge at overbevise dig om rigtigheden af denne analyse på tre forskellige måder.
Den første - den empiriske. I 2008 en klummeskribent for avisen The New York Times, John Tayerni skriftligt materiale om den "fænomenet Monty Hall." Efter offentliggørelsen personale udviklet et interaktivt program, der giver dig mulighed for at spille dette spil, og selv bestemme, til at ændre deres oprindelige valg eller ej. (Programmet giver selv små geder og avtomobilchiki, der vises fra bag døren.) Program Det fanger dine gevinster, når du ændrer din oprindelige valg, og når overladt til sin egen mening. Jeg betalte en af hans døtre for hende at spille dette spil 100 gange, hver gang at ændre den oprindelige valg. Jeg betalte også hendes bror, så han også har spillet dette spil 100 gange, hver gang forlader den oprindelige beslutning. Datter vundet 72 gange; hendes bror - 33 gange. Indsatsen blev belønnet hver to dollars.
Disse episoder af spillet Lad os lave en aftale viser det samme mønster. Ifølge Leonard Mlodinovu, forfatter til The Drunkard Walk, de finalister, der ændrede hans det oprindelige valg af vinderen er cirka to gange mere tilbøjelige end dem, der forblev på deres mening.
Min anden forklaring på dette fænomen er baseret på intuition. Lad os sige, spillets regler har ændret sig en smule. For eksempel finalist starter med at vælge en af de tre døre: Døre № 1 № Døre Døre № 2 og 3, som det oprindeligt blev leveret. Men så, før du åbner nogle af de døre, bag hvilke skjuler en ged, Monty Hall spørger: "Er du enig til at opgive deres valg i bytte for at åbne de resterende to døre? "Så, hvis du vælger dør nummer 1, du kan skifte mening til fordel for nummer 2 Døre & Døre nummer 3. Hvis det første punkt til døren nummer 3, kan du vælge dør nummer 1 og nummer 2 dør. Og så videre.
For dig, ville det ikke være en særlig vanskelig beslutning: Det er indlysende, at du bør nægte den indledende valg til fordel for de to andre døre, fordi det øger chancerne for at vinde med ⅓ til ⅔. Det mest interessante er, at det er hovedsagelig en version af Monty Hall tilbyder et rigtigt spil, efter at åbne døren, bag hvilken skjuler en ged. Den grundlæggende faktum er, at hvis du fik mulighed for at vælge to døre, bag en af dem, i hvert fald ville skjule en ged. Da Monty Hall åbner døren, bag hvilken der er en ged, og først derefter spørger dig Har du enige om at ændre deres oprindelige valg, det øger dine chancer for at vinde værdifuld præmie! Faktisk Monty Hall fortæller dig, "Sandsynligheden for, at en præmie er skjult bag en af de to døre, som du ikke har valgt det første gang, er ⅔, men det er stadig mere end ⅓!»
Dette kan repræsenteres som følger. Sig du er vist døren nummer 1. Efter at Monty Hall giver dig mulighed for at opgive den oprindelige afgørelse til fordel Døre nummer 2 og nummer 3 Doors. Du accepterer og har til din rådighed to døre, hvilket betyder, at du har al mulig grund til at forvente at vinde en værdifuld præmie med sandsynlighed ⅔, snarere end ⅓. Hvad ville der ske, hvis, i det øjeblik, Monty Hall åbnede døren nummer 3 - en af "din" dør - og det viste sig at være en ged? ville ryste det faktum, at din tillid i beslutningen? Selvfølgelig ikke. Hvis bilen er skjult bag døren nummer tre, ville Monty Hall har åbnet døren nummer 2! Han havde ikke vise dig noget.
Når spillet er på nakatannomu scenarie, Monty Hall virkelig giver dig et valg mellem døren, du angav i starten, og de to resterende døre, bag hvoraf den ene kan være bil. Da Monty Hall åbner døren, bag hvilken en ged, det bare giver dig en tjeneste ved at demonstrere, hvilke af de to andre døre har nogen bil. Du har den samme sandsynlighed for at vinde i begge følgende scenarier.
- Valg Dør nummer 1, så samtykke "switch" på døren til nummer 2 og nummer 3 dør, før begge vil åbne døre.
- Valg Dør nummer 1, så samtykke "switch" på døren til nummer 2, efter Monty Hall vise dig goat af døren nummer 3 (eller vælg Døre nummer 3, efter Monty Hall vise dig en ged bag dør nummer 2).
I begge tilfælde afslag af den oprindelige løsning giver dig fordelen af de to døre, sammenlignet med den ene ud, og du kan dermed fordoble deres chancer for at vinde: med ⅓ til ⅔.
Mit tredje udførelsesform repræsenterer en mere radikal version af den samme base intuition. Antag Monty Hall tilbyder dig at vælge en af 100 døre (i stedet for en af de tre). Når du gør det, siger, peger på døren til nummer 47, det åbner de resterende 98 døre, bag hvilke er gederne. Nu lukkede døre er kun to: din dør nummer 47, og en anden, for eksempel dør nummer 61. Skulle du opgive dit oprindelige valg?
Selvfølgelig ja! Med 99 procent sandsynlighed bilen er bag en af dørene, som du vælger i begyndelsen. Monty Hall gav dig en tjeneste ved at åbne 98 sådanne døre, bilen var ikke for dem. Således er der kun en 1 i 100 chance for, at dit oprindelige valg (dør nummer 47) vil være korrekt. Samtidig er der en 99 ud af 100 chance for, at dit første valg er forkert. Hvis ja, så bilen er bag den resterende dør, så er der dør nummer 61. Hvis du ønsker at spille med en chance for at vinde 99 gange ud af 100, så er du nødt til at "skifte" på døren til nummer 61.
Kort sagt, hvis du nogensinde nødt til at deltage i Lad os lave en aftale spil, du helt sikkert nødt til at give fra sin oprindelige beslutning, da Monty Hall (eller den, der vil være hans stedfortræder) vil give dig mulighed for at valg. Mere universel konklusion fra dette eksempel er, at dine intuitioner om sandsynligheden for forekomst af visse begivenheder nogle gange kan vildlede dig.
"Naked Statistik" af Charles Whelan
Køb på Litres.ru