Analytisk geometri - gratis kursus fra Åben Uddannelse, træning 13 uger, ca. 5 timer om ugen, Dato 29. november 2023.

Priser og resultater Russisk regerings pris inden for uddannelse for 2010, hædret lærer i MIPT.

Kurset består af 12 træningsuger og en eksamensuge

Uge 1. Matricer

01.00 Introduktion

01.01 Matrix definition

01.02 Operationer med matricer

01.02.01 Problem. Beregning af lineær kombination af matricer

02/01/02 Problem. At finde den transponerede matrix

01.03 Produkt af matricer. Del 1

01.04 Produkt af matricer. Del 2

04/01/01 Problem. Beregning af produktet af matricer

04/01/02 Problem. Kontrol af eksistensen af ​​et produkt og beregning af det 

04/01/03 Problem. Beregning af en matrix i n-te potens. Eksempel 1

04/01/04 Problem. Beregning af en matrix i n-te potens. Eksempel 2

04/01/05 Problem. Beregning af et matrixpolynomium

04/01/06 Problem. Kontrol af gyldigheden af ​​matrix-lighed

04/01/07 Problem. Beregning af en matrix til en numerisk potens

01.05 Matrixdeterminant

01.05.01 Problem. Beregning af determinanten af ​​en matrix

01.06 Cramers regel

06/01/01 Problem. Løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af Cramers metode

Uge 2. Vektorer

02.01 Bestemmelse af et rettet segment, vektor

02.02 Gentagelse fra skolens geometrikursus 

02.02.01 Problem. Bevis på uligheden for en firkant i rummet

02.02.02 Problem. Bevis for lighed for en n-gon

02.03 Lineær kombination af vektorer

02.04 Lineær afhængighed og uafhængighed af vektorer 

02.05 Kriterium for lineær afhængighed af et vektorsystem

02.06 Grundlag

02.06.01 Problem. Find vektorkoordinater

02.06.02 Problem. Find koordinaterne for et parallelepiped ved hjælp af vektorer

02.07 Udskiftning af grundlag

07/02/01 Problem. At finde koordinaterne for et prismepunkt i et nyt koordinatsystem

07/02/02 Problem. At finde koordinaterne for et parallelogrampunkt i et nyt koordinatsystem

02.08 Cartesisk koordinatsystem (DCS)

02.08.01 Problem. Tjek at vektorer danner grundlag

02.09 Udskiftning af ODSC

02.09.01 Problem. Finde koordinaterne for oprindelses- og basisvektorerne i det nye og det gamle koordinatsystem

02.09.02 Problem. At finde koordinaterne for en vektor i det nye grundlag gennem koordinaterne i det gamle

Uge 3. Produkt af vektorer

03.01 Punktprodukt af vektorer

03.02 Projektion af en vektor på en ikke-nul vektor

03.03 Egenskaber for skalarproduktet af vektorer. Del 1

03.04 Egenskaber for skalarproduktet af vektorer. Del 2

04/03/01 Problem. Find længden af ​​siderne og vinklerne af et parallelogram ved hjælp af basisvektorer

04/03/02 Problem. Find den ortogonale projektion af en vektor på en linje

03.05 Orientering af baser. Orienterede volumener og områder

03.06 Blandet produkt af vektorer. Del 1

03.07 Blandet produkt af vektorer. Del 2

03.08 Vektorprodukt af vektorer. Del 1

03.09 Vektorprodukt af vektorer. Del 2

03.09.01 Problem. Bevis for koplanaritet af vektorer

03.09.02 Problem. Find arealet af en trekant ved hjælp af vektorkoordinater

09/03/03 Problem. Bevis for lighed for ikke-kollineære vektorer

09/03/04 Problem. Finde volumenet af et tetraeder og dets højde

03.10 Dobbelt kryds produkt

03.10.1 Problem. Identitets bevis

03.11 Gensidigt grundlag

Uge 4 Del 1. Plan i rummet

04.01 Definition af et plan i rummet

04.02 Forskellige former for skrivning af et flys ligning

04.03 Generel planligning

04.03.01 Problem. Planligning

Uge 4 Del 2. Lige på et fly. Lige linje og plan i rummet

04.04 Lige linje på et fly

04.04.01 Problem. Find radiusvektoren for et punkt

04.04.02 Problem. Betingelser for skæring, parallelitet og vinkelrethed af linjer i et plan

04.05 Generel ligning af en ret linje på et plan. Lige linje i rummet

04.05.01 Problem. Find radiusvektoren for linjers skæringspunkt

04.05.02 Problem. Ligning for en linje, der skærer to skæve linjer

04.05.03 Problem. Ligning for en linje, der går gennem et punkt og parallelt med en anden linje

04.05.04 Problem. Betingelse for skæringen af ​​en linje og et plan

04.06 Indbyrdes arrangement af linjer og fly

06/04/01 Problem. Ligning for et plan, der går gennem et punkt og parallelt med to linjer

06/04/02 Problem. Ligning af et plan, der går gennem en linje og parallelt med en anden linje

04.07 Lige linje og plan i PDSC

04.07.01 Problem. Ligning af linjer, der går gennem et punkt og med samme afstand fra to andre punkter

04.07.02 Problem. Ligning for halveringslinjen for vinklen mellem linjer

04.08 Nogle metriske problemer i PDSC. Del 1

04.08.01 Problem. Ligning af linjer parallelt med en anden linje og adskilt fra et punkt i en vis afstand

04.08.02 Problem. Generel ligning for et plan, der passerer gennem et punkt og en linje. Afstand fra dette plan til et givet punkt

04.09 Nogle metriske problemer i PDSC. Del 2

04.09.01 Problem. Afstand mellem linjer

Uge 5. Algebraiske linjer af anden orden på flyet

05.01 Definition af algebraiske linjer og flader

05.02 Anden ordens linjer på et fly. Ellipse ligning

05.03 Ligning af en imaginær ellipse, et par imaginære skærende linjer, en hyperbel, et par skærende linjer

05.04 Ligning af en parabel, par af parallelle linjer, par af imaginære parallelle linjer, par af sammenfaldende linjer

05.05 Linjens midte. Elliptiske og hyperbolske linjer

05.05.01 Problem. En type andenordenskurve defineret af en ligning. Den kanoniske ligning for en kurve og det kanoniske koordinatsystem. Eksempel 1

05.05.02 Problem. En type andenordenskurve defineret af en ligning. Den kanoniske ligning for en kurve og det kanoniske koordinatsystem. Eksempel 2

05.05.03 Problem. En type andenordenskurve defineret af en ligning. Den kanoniske ligning for en kurve og det kanoniske koordinatsystem. Eksempel 3

Uge 6 At studere egenskaberne ved ellipse, hyperbel og parabel

06.01 Ellipse

01/06/01 Problem. Kanonisk ellipse ligning

06.02 Ellipsens egenskaber

06.03 Ligning for en tangent til en ellipse

03/06/01 Problem. Ligning af tangenter til en ellipse

03/06/02 Problem. Vinklen mellem tangenten og Ox-aksen

06.04 Hyperbole

04/06/01 Problem. Hyperbelexcentricitet

06.05 En hyperbels geometriske egenskaber

05/06/01 Problem. Bevis for produktets konstanthed af afstanden fra ethvert punkt i en hyperbel til dens asymptoter

06.06 Parabel

06.06.01 Problem. Parabelligning

06.06.02 Problem. Tangentligninger til en parabel

06.07 Ellipse, hyperbel og parabel i det polære koordinatsystem

Uge 7 Anden ordens overflade

07.01 Rotationsflade

07.02 Ellipsoide

07.03 Anden ordens kegle

07.04 Enkeltarks hyperboloid

07.05 Retlineære generatorer af en et-arks hyperboloid

07.06 To-arks hyperboloid, elliptisk og hyperbolsk paraboloid

06/07/01 Problem. Bestemmelse af overfladetype

06/07/02 Problem. Fælles punkter på en linje og andenordens overflader

06/07/03 Problem. Parametriske ligninger for retlinede generatorer af en given overflade

06/07/04 Problem. Type overflade dannet ved at rotere en lige linje

Uge 8 Kortlægninger og transformationer

08.01 Definition af kortlægning og transformation

08.02 En-til-en kortlægning. Produkt af kortlægninger

08.03 Produktets egenskaber ved plantransformationer. Koordinere optagelse af kortlægninger

08.04 Ortogonale plantransformationer

08.05 Lineære og affine transformationer

08.06 Billede af en vektor under lineær transformation. Del 1

08.07 Billede af en vektor under lineær transformation. Del 2

08.08 Geometriske egenskaber ved affine transformationer

08.08.01 Problem. Symmetri om en lige linje

08.08.02 Problem. En affin transformation af et plan, der tager givne linjer ind i sig selv og et givet punkt til et andet punkt

08.09 Ændring af områder under affin transformation

08.10 Billeder af andenordens linjer under affin transformation

08.10.01 Problem. Anden ordens kurvetype

08.10.02 Problem. Bevis for lighed af summen af ​​arealer af trekanter

08.11 Dekomponering af en affin transformation

08.11.01 Problem. Repræsentation af en given affin transformation som produkter af tre transformationer

Uge 9 Determinanter af n. ordens matricer

09.01 Determinanter

01/09/01 Problem. Determinant for orden n. Eksempel 1

01/09/02 Problem. Determinant for orden n. Eksempel 2

09.02 Determinantens egenskaber. Del 1

09.03 Determinantens egenskaber. Del 2

09.04 Determinantens egenskaber. Del 3

04/09/01 Problem. Vandermonde determinant

04/09/02 Problem. Determinant for orden 2n

09.05 Formel til fuldstændig udvikling af determinant

05/09/01 Problem. Komplet nedbrydningsformel for en femteordens matrix

09.06 SLAU i særtilfælde

09.07 Cramers regel i den almindelige sag

Uge 10 Matrix rang

10.01 Mindreårige af vilkårlig orden

10.02 Matrix rang

02/10/01 Problem. Rang- og basissystem af matrixkolonner

02/10/02 Problem. Estimering af rangeringen af ​​en matrix af orden n

02/10/03 Problem. Bevis for rangulighed for alle matricer af samme størrelse

02/10/04 Problem. Ikke-nul mol af orden r af en matrix med rang r

02/10/05 Problem. Matrix rang estimering

10.03 Reduktion af matrixen til en forenklet form

10.04 Gaussisk metode

10.05 Basis bisætning

05/10/01 Problem. Repræsentation af en matrix gennem produktet af matricer

10.06 Matrix rangsætning

06/10/01 Problem. Øvre grænse for rangeringen af ​​produktet af to matricer

06/10/02 Problem. Bevis for lighed af rangen af ​​en matrix til den højeste orden af ​​dens mindreårige

Uge 11 omvendt matrix

11.01 Definition af invers matrix

11.02 Udtrykke elementer af en invers matrix gennem elementer af den oprindelige matrix

 02/11/01 Problem. Beregning af den inverse matrix. Eksempel 1

02/11/02 Problem. At finde den inverse matrix. Eksempel 2

11.03 Egenskaber for en invers matrix

03/11/01 Problem. Kontrol af gyldigheden af ​​identiteten for matricer

11.04 Endnu et bevis på eksistensen af ​​en invers matrix for en ikke-singular kvadratisk matrix

11.05 Karakteristisk polynomium af en matrix

05/11/01 Problem. omvendt matrix

11.06 Hamilton-Cayleys sætning

11.07 Elementære transformationer som matrixmultiplikation

07/11/01 Problem. Beregning af den inverse matrix gennem elementære transformationer. Eksempel 1

07/11/02 Problem. At finde den inverse matrix. Eksempel 2

Uge 12 Generel teori om lineære systemer

12.01 Kronecker-Capelli-sætning

12.02 Fredholms sætning

12.03 Generel opløsning af inhomogene SLAE

12.04 Fundamental matrix af en homogen SLAE. Del 1

12.05 Fundamental matrix af en homogen SLAE. Del 2

05.12.01 Problem. Grundlæggende matrix af SLAE

05.12.02 Problem. Kontrol af den grundlæggende matrix af SLAE

05.12.03 Problem. SLAE løsning

05.12.04 Problem. Generel visning af en vilkårlig fundamental matrix af SLAE'er

05/12/05 Problem. Ækvivalensbetingelse for SLAE'er

12.06 Generel opløsning af inhomogene SLAE

06/12/01 Problem. SLAE løsning

06.12.02 Problem. Kompatibilitet af heterogene SLAE'er

Uge 13 afsluttende eksamen