"Matematisk fysiks ligninger" - kursus 2800 rub. fra MSU, træning 15 uger. (4 måneder), Dato: 30. november 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
Kurset henvender sig til bachelorer, kandidater og specialister med speciale i matematiske, ingeniør- eller naturvidenskabelige discipliner, samt universitetslærere. Formålet med kurset er at introducere den studerende til en række klassiske problemstillinger inden for ligningsområdet med matematisk fysik og at lære den studerende de grundlæggende metoder til at studere sådanne ligninger. Kurset dækker klassisk materiale om matematisk fysiks ligninger (partielle differentialligninger) inden for et semesters studie. Afsnittene "Lineære og kvasilineære ligninger af første orden", "Klassificering af lineære ligninger", "Bølgeligning", "Parabolligning", "Grundlæggende løsninger", "Laplaces ligning". Vi vil stifte bekendtskab med de klassiske problemformuleringer - Cauchy-problemet, grænseproblem. Lad os mestre de grundlæggende metoder til at studere ligninger - direkte integration, metoden til fortsættelse af løsninger, Fourier-metoden, metoden til grundlæggende løsninger, metoden til potentialer. Vi vil ofte huske udledningen af disse ligninger i problemer med matematisk fysik og grænserne for vores modellers anvendelighed.
Studieform
Korrespondancekurser ved hjælp af fjernundervisningsteknologier
Adgangskrav
Tilgængelighed af VO eller SPO
2
RuteDoctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor Stilling: Professor ved Institut for Grundlæggende og Anvendt Matematik, Fakultetet for Rumforskning, Moscow State University opkaldt efter M.V. Lomonosov
1. Første møde.
Indledende ord. Grundlæggende principper for at arbejde med ligninger i matematisk fysik. Eksempler på simple ligninger. Klassifikation. Løsning af simple ligninger ved at reducere dem til almindelige differentialligninger. Udskiftning af variable i en ligning.
2. Første ordens ligninger – lineære og kvasilineære.
Lineære ligninger. At finde en passende erstatning - kompilering og løsning af et system af førsteordens almindelige differentialligninger. Første integraler af systemet. Egenskaber. Kvasilineære ligninger. At finde en løsning i en implicit form.
3. Cauchy problem. Klassifikation af lineære andenordens ligninger.
Udtalelse af Cauchy-problemet. Sætning om eksistensen og unikheden af en løsning på Cauchy-problemet. Klassifikation af andenordens lineære ligninger med konstante koefficienter. Reduktion til kanonisk form.
4. Hyperbolske, parabolske og elliptiske ligninger.
Klassifikation af andenordens lineære ligninger med variable koefficienter på planet. Hyperbolsk, parabolsk og elliptisk type. Løsning af hyperbolske ligninger. Problemer med start- og randbetingelser.
5. String ligning.
En-dimensionel bølgeligning på hele aksen. Frem og tilbage bølge. d'Alemberts formel. Duhamel integral. Grænsebetingelser for ligningen på halvaksen. Grundlæggende typer af randbetingelser. Fortsættelse af løsningen. Tilfældet med et begrænset segment.
6. Fourier-metoden bruger strengligningen som eksempel.
Ideen om Fourier-metoden. Det første skridt er at finde et grundlag. Det andet trin er at opnå almindelige differentialligninger for Fourier-koefficienterne. Det tredje trin er at tage hensyn til de indledende data. Konvergens af serier.
7. Diffusionsligning (finite segment).
Udledning af ligningen. Opgørelse af problemer (start- og randbetingelser). Fourier metode. Under hensyntagen til højre side og inhomogenitet i randforhold. Konvergens af serier.
8. Diffusionsligning (hele aksen).
Fouriertransformation, inversionsformel. Løsning af ligningen ved hjælp af Fourier-transformationen. Sætning – begrundelse af metoden (to tilfælde). Poissons formel. Tilfældet med en ligning med højre side.
9. Generaliserede funktioner.
At skrive Poissons formel som en foldning. Registrering i form af en foldning af løsningen til varmeligningen på et endeligt segment. Schwartz klasse. Eksempler på funktioner fra klassen. Definition af generaliserede funktioner, sammenhæng med klassiske funktioner. Multiplikation af en generaliseret funktion med en grundlæggende funktion, differentiering. Konvergens af generaliserede funktioner. Eksempler på generiske funktioner.
10. Arbejde med generiske funktioner.
Løsning af almindelige differentialligninger i generaliserede funktioner. Fouriertransformation af generaliserede funktioner. Konvolution. Direkte produkt. Bæreren af en generaliseret funktion. Løsning af den inhomogene endimensionelle varmeligning ved hjælp af den fundamentale løsning. Grundlæggende løsning af en almindelig differentialoperator på et interval.
11. Grundlæggende løsninger.
Afledning af Poisson-formlen for den multidimensionelle varmeligning. Afledning af Kirkhoffs formel. Afledning af Poissons formel for bølgeligningen. Løsning af problemer ved hjælp af metoden til adskillelse af variabler, metoden til superposition.
12. Laplaces ligning.
Afledning af Laplaces ligning. Vektorfelt – potentiale, flow gennem en overflade. Volumen potentiale. Enkelt lagpotentiale. Dobbeltlagspotentiale. Logaritmisk potentiale.
13. Dirichlet problem, Neumann problem og Greens funktion.
Harmoniske funktioner. Svagt ekstremum princip. Harnacks sætning. Streng maksimum princip. Unikitetssætning. Middelværdisætning. Uendelig glathed. Liouvilles sætning. Grøns formel. Grøns funktion, dens egenskaber. Løsning af Poisson-problemet med Dirichlet-betingelser ved hjælp af den grønne funktion. Andre grænseværdiproblemer. Konstruktion af den grønnes funktion ved reflektionsmetoden.
14.Multidimensional Fourier-metode.
Løsning af problemer ved hjælp af Fourier-metoden. Forskellige randbetingelser. Bessel funktioner. Legendre polynomium. Gennemgang af det gennemførte kursus. Opsummerende.